自分はiPhoneアプリでGmailを入れているが、たまに未読メールの件数がホーム画面のGmailアイコンに表示されているにも関わらずタップしても既読メールしか表示されないことがある。
画面を下にスワイプして更新しようとしても「接続できません」と表示され新規メールを読むことができない。
環境が4GでもWi-Fiでも同じ状況になる。
こうなる原因は十中八九アプリのアップデートの問題。
自動アップデートにしていてもタイミングによっては上記のようになることがあるらしく、手動アップデートをするとすぐに問題は解決した。
同じような症状の方がいたらご参考までに。